Algebra boolowska. Część 1. Trochę historii

W szkole wszyscy studiowaliśmy algebrę, ale nie rozmawiali tam o algebrze boolowskiej. Jaka jest różnica między algebrą boolowską a algebrą szkolną, historia jej wyglądu, problemy i zastosowania są opisane w tym artykule.

Obwód, który pozwala dwóm przełącznikom włączać światło w korytarzu przy wejściu do korytarza i wyłączać go po wejściu do pokoju, jest znany od bardzo dawna (patrz. Obwód sterowania oświetleniem korytarza) Pokazano to na rycinie 1.

Zadanie nr 1. Bardziej skomplikowane. Utwórz schemat, który pozwala włączać i wyłączać światło w pokoju za pomocą jednego z 3 różnych przełączników. Przełączniki znajdują się przy wejściu do pokoju, nad łóżkiem i przy biurku.

Zadanie nr 2.

W komitecie sportowym, takim jak komitet fabryczny, zebrało się 5 sędziów.

Każdy z nich musi głosować na różne decyzje. Decyzja jest podejmowana większością głosów, ale tylko pod warunkiem, że głosuje za nią przewodniczący komisji.

Sędziowie głosują, naciskając przycisk zamykający przełącznik znajdujący się pod stołem, przy którym siedzą. Zamykając przełącznik, głosują za, rozłączając wady. Narysuj prosty schemat, który pozwala automatycznie zobaczyć wyniki głosowania. W najprostszym przypadku, po prostu za pomocą żarówki - świeci - decyzja jest podejmowana, nie świeci - nie.

Zadanie nr 3. W praktyce jest to mało prawdopodobne, ale jako złożone zadanie edukacyjne jest całkiem odpowiednie.

W dużym sześciokątnym pomieszczeniu na każdej ścianie jest zainstalowany jeden przełącznik. Zbuduj obwód, aby w dowolnym momencie możesz włączyć lub wyłączyć światło w pokoju, obracając jeden (dowolny) przełącznik.

Gdy bezskutecznie usiądziesz nad zadaniami przez trzy do czterech dni, odłóż je na bok. I bądź zajęty Algebra boolowska. Jest to algebra boolowska lub, jak to się nazywa, Algebra boolowska, algebra obwodu przekaźnikowego, pomoże ci rozwiązać problemy.

Co to jest algebra boolowska?

Co dziwne, pomimo tego, że od pięciu lat uczą się algebry w szkole, wielu uczniów, a później dorosłych, nie będzie w stanie odpowiedzieć na pytanie, czym jest algebra? Algebra to nauka, która bada zbiory niektórych elementów i ich działania.

Na szkolnym kursie algebry takimi elementami są liczby. Liczby można oznaczać nie cyframi, ale literami, wszyscy to znają. Na pierwszych lekcjach algebry to zawsze utrudnia wielu uczniom. Pamiętaj, jak trudno było na początku przyzwyczaić się do dodawania liter zamiast cyfr, rozwiązywania równań, które nic nie mówią.

Prawdopodobnie każdy z nas zadał sobie pytanie: „Dlaczego musimy wprowadzać litery zamiast cyfr i czy w ogóle jest to konieczne?” Dopiero później zobaczyłeś, jakie korzyści daje algebra przy rozwiązywaniu problemów w porównaniu z arytmetyką.

Algebra jest używana w wielu naukach ścisłych. To fizyka, mechanika, sopromat, elektryczność. Prawo Ohma nie ma nic więcej niż równanie algebraiczne: wystarczy zastąpić ich wartości liczbowe zamiast liter, aby dowiedzieć się, jaki prąd będzie płynął w obciążeniu lub jaki opór ma część obwodu.

Zapoznaliście się więc z algebrą liczb lub z algebrą elementarną. Głównym i prawie unikalnym zadaniem jest uzyskanie odpowiedzi na pytanie: „Czym jest X? Ile?

W szkole średniej uczą się początków algebry wektorowej. Ta algebra zasadniczo różni się od algebry elementarnej. Ma inny charakter badanego zestawu i inne zasady działania. Rozwiązując równanie wektorowe, otrzymujemy w odpowiedzi wektor, który nie jest zwykłą liczbą, która odpowiada na pytanie „Ile?”

Wzory algebry wektorowej pod wieloma względami różnią się od wzorów algebry elementarnej. Na przykład w algebrze elementarnej i algebrze wektorowej występuje operacja dodawania. Ale odbywa się to na zupełnie inne sposoby.Dodawanie liczb wcale nie jest tym samym, co dodawanie wektorów.

Istnieją inne algebry: algebra liniowa, algebra struktur, algebra pierścieni, algebra logiki lub, co jest takie samo, algebra boolowska. Prawdopodobnie nie słyszałeś tego imienia na lekcjach w szkole. George Boole - ale wszyscy znają imię jednej z jego utalentowanych córek Ethel Voinich (1864–1960). Napisała powieść „Gadfly”, która mówi o walce o prawa włoskich karbończyków.

George Bull urodził się w Anglii 2 listopada 1815 r. Przez całe życie pracował jako nauczyciel matematyki i fizyki w szkole. Ze wspomnień jego uczniów wiadomo, jak wielką wagę Bul przywiązywał do rozwoju zdolności twórczych uczniów. Prezentując nowy materiał, starał się upewnić, że jego uczniowie sami „odkryli” na nowo pewne formuły i prawa.

Opowiadając uczniom o trudnościach, jakie naukowcy nieuchronnie musieli napotkać w poszukiwaniu prawdy, nauczyciel lubił powtarzać jedną wschodnią mądrość: nawet tron ​​perski nie może przynieść takiej przyjemności jak najmniejsze odkrycie naukowe. Buhl nigdy nie tracił nadziei, że pewnego dnia jego uczniowie dokonają prawdziwego odkrycia.

Zakres zainteresowań naukowych Buhla był bardzo szeroki: interesował się matematyką i logiką - nauką praw i form myślenia. W tamtych czasach logikę uważano za naukę humanistyczną, a wielu, którzy znali George'a Boole'a, było zaskoczonych tym, jak dokładne metody poznania właściwe matematyce i czysto opisowe metody logiki mogą współistnieć w jednej osobie.

Ale naukowiec chciał uczynić naukę praw i form myślenia tak rygorystyczną, jak każda z nauk przyrodniczych, powiedzmy matematyka i fizyka. W tym celu Boule zaczął oznaczać nie cyfry jako litery, jak ma to miejsce w zwykłej algebrze, ale stwierdzenia i pokazał, że takie równania, bardzo podobne do algebraicznych, mogą rozwiązywać pytania o prawdziwość i fałsz wypowiedzi stwierdzeń człowieka. Powstała więc algebra boolowska.

Ale na długo przed George Buhl, niemiecki matematyk i filozof Gottfried Leibniz (1646-1716) po raz pierwszy wpadł na pomysł stworzenia nauki, która wyznaczyłaby wszystkie koncepcje zwykłej mowy potocznej za pomocą symboli i ustanowiła nową algebrę do łączenia tych symboli.

Według Leibniza po stworzeniu takiej nauki naukowcy i filozofowie przestaną się kłócić i krzyczeć na siebie, poznając prawdę, ale wezmą ołówek i spokojnie powiedzą: „Obliczmy!”

Dzisiaj algebra logiki stała się ważną częścią matematyki. Jednym z jego zadań jest rozwiązywanie wszelkiego rodzaju równań, których stosunki liczbowe są zastępowane alfabetycznymi. Prawdopodobnie każdy z was przez całe życie pamiętał, jak rozwiązać równania drugiego i trzeciego stopnia za pomocą współczynników literowych. Tak więc Boole w swojej nowej algebrze zastosował wszystkie te formuły i reguły.

Nowością w algebrze boolowskiej jest to, że badane w niej elementy zestawu nie są liczbami, lecz wyrażeniami. Jeśli podczas rozwiązywania zwykłych równań algebraicznych zostanie ustalone, która liczba jest równa nieznanemu X, algebra szkolna szuka odpowiedzi na pytanie: „Ile?”

Algebra logiki szuka odpowiedzi na pytanie: „Czy to czy tamto stwierdzenie oznaczone literą X jest prawdziwe?”

Znaczenie i treść oświadczenia nie odgrywają tutaj żadnej roli. Każde stwierdzenie może być prawdziwe lub fałszywe. To nie może być w połowie prawda, a w połowie fałsz. Jako przykład możemy przypomnieć losowanie monetą.

Brane są pod uwagę tylko dwa stany monet - główki lub reszki. Za zgodą stron orzeł jest TAK, a ogony NIE. Żadne inne punkty pośrednie nie są brane pod uwagę w teorii prawdopodobieństwa, chociaż są one możliwe. Odwrócona moneta może spaść na krawędź, stoczyć się po podłodze do nóg krzesła lub stołu i pozostać w pozycji pionowej, a nawet wpaść w szeroką szczelinę w podłodze. (Analogicznie do obwodów elektrycznych, dwie ostatnie sytuacje można uznać za awarię w postaci przypalonego styku).Ale w tamtych czasach algebra boolowska, niestety, nie była szeroko stosowana.

Claude Shannon ponownie „odkrył” algebrę Buhl. W 1938 roku, jeszcze będąc studentem Massachusetts Institute of Technology and America, młody Claude udowodnił, że algebra Boolean jest całkowicie odpowiednia do analizy i syntezy obwodów przekaźnikowych i przełączających.

Za pomocą algebry Boolean bardzo łatwo jest wykonać obwód elektryczny maszyny sterowanej przekaźnikowo.W tym celu okazuje się, że musisz dokładnie wiedzieć, co powinna zrobić maszyna, to znaczy, że musisz mieć algorytm do jej działania. Tak więc położono podwaliny pod teorię maszyn cyfrowych działających na zasadzie TAK lub NIE.

Krótko mówiąc, taka jest historia algebry boolowskiej. W kolejnych artykułach rozważymy jego podstawowe prawa, przykłady obwodów stykowych wdrażających te prawa. Zastanów się nad rozwiązaniem tych zadań, które zostały podane na początku artykułu.

Kontynuacja artykułu: Algebra boolowska. Część 2. Podstawowe prawa i funkcje

Boris Aladyshkin