Algèbre booléenne. Partie 1. Un peu d'histoire

À l'école, nous avons tous étudié l'algèbre, mais ils ne parlaient pas d'algèbre de Boole. Quelle est la différence entre l'algèbre booléenne et l'algèbre scolaire, l'historique de son apparence, ses problèmes et ses applications sont décrits dans cet article.

Le circuit qui permet à deux interrupteurs d'allumer la lumière dans le couloir à l'entrée du couloir et de l'éteindre en entrant dans la pièce est connu depuis très longtemps (voir. Circuit de commande d'éclairage du couloir) Il est illustré à la figure 1.

Numéro de tâche 1. Plus compliqué. Créez un diagramme qui vous permet d'allumer et d'éteindre la lumière dans votre pièce avec l'un des 3 interrupteurs différents. Des interrupteurs sont situés à l'entrée de la chambre, au-dessus du lit et au bureau.

Numéro de tâche 2.

Dans un comité sportif, comme un comité d'usine, 5 juges se sont réunis.

Chacun d'eux doit voter pour des décisions différentes. La décision est adoptée à la majorité des voix, mais uniquement à la condition supplémentaire que le président de la commission la vote.

Les juges votent en appuyant sur le bouton qui ferme l'interrupteur situé sous la table à laquelle ils sont assis. En fermant l'interrupteur, ils votent pour, déconnectant les inconvénients. Dessinez un diagramme simple qui vous permet de voir automatiquement les résultats du vote. Dans le cas le plus simple, simplement à l'aide d'une ampoule - allumée - la décision est prise, ne s'est pas allumée - non.

Numéro de tâche 3. En pratique, cela est peu probable, mais comme une tâche éducative complexe est tout à fait appropriée.

Dans une grande pièce hexagonale, un interrupteur est installé sur chaque mur. Construisez un circuit de sorte qu'à tout moment vous pouvez allumer ou éteindre la lumière dans la pièce en tournant un (n'importe quel) interrupteur.

Après avoir échoué pendant trois à quatre jours sur des tâches, mettez-les de côté temporairement. Et occupez-vous Algèbre booléenne. C'est l'algèbre booléenne, ou, comme on l'appelle aussi, Algèbre booléenne, algèbre de circuit de relais, vous aidera à résoudre vos problèmes.

Qu'est-ce que l'algèbre booléenne?

Curieusement, malgré le fait qu'ils étudient l'algèbre depuis cinq ans à l'école, de nombreux élèves, et plus tard des adultes, ne pourront pas répondre à la question, qu'est-ce que l'algèbre? L'algèbre est une science qui étudie les ensembles de certains éléments et leurs actions.

Dans un cours d'école d'algèbre, ces éléments sont des nombres. Les nombres peuvent être désignés non pas par des nombres, mais par des lettres, tout le monde le sait. Dans les premières leçons d'algèbre, cela complique toujours la tâche de nombreux élèves. Rappelez-vous combien il était difficile au début de s'habituer à plier des lettres au lieu de chiffres, à résoudre des équations qui ne disaient rien.

Probablement, chacun de nous s'est ensuite posé la question: "Pourquoi devons-nous entrer des lettres au lieu de chiffres et est-ce nécessaire du tout?" Et ce n'est que plus tard que vous avez vu quels avantages l'algèbre offre lors de la résolution de problèmes par rapport à l'arithmétique.

L'algèbre est utilisée dans de nombreuses sciences exactes. C'est la physique, la mécanique, la sopromat, l'électricité. La loi d'Ohm il n'y a rien de plus qu'une équation algébrique: il suffit de substituer leurs valeurs numériques au lieu de lettres pour savoir quel courant va circuler dans la charge, ou quelle résistance a une section du circuit.

Vous vous êtes donc familiarisé avec l'algèbre des nombres ou l'algèbre élémentaire. La tâche principale et presque unique est d'obtenir une réponse à la question: «À quoi X est-il égal? Combien? "

Au lycée, ils étudient les débuts de l'algèbre vectorielle. Cette algèbre est fondamentalement différente de l'algèbre élémentaire. Il a une nature différente de l'ensemble étudié et d'autres règles d'action. En résolvant l'équation vectorielle, nous obtenons dans la réponse un vecteur qui n'est pas un nombre ordinaire qui répond à la question "Combien?"

Les formules de l'algèbre vectorielle sont à bien des égards différentes des formules de l'algèbre élémentaire. Par exemple, en algèbre élémentaire et en algèbre vectorielle, il y a une opération d'addition. Mais elle est réalisée de manières complètement différentes.L'addition de nombres n'est pas du tout la même chose que l'ajout de vecteurs.

Il existe d'autres algèbres: l'algèbre linéaire, l'algèbre des structures, l'algèbre des anneaux, l'algèbre de la logique ou, ce qui est le même, l'algèbre booléenne. Vous n’avez probablement pas entendu le nom dans les cours. George Boole - mais tout le monde connaît le nom d'une de ses talentueuses filles Ethel Voinich (1864 - 1960). Elle a écrit le roman "Gadfly", qui parle de la lutte pour les droits des carbonariens italiens.

George Bull est né en Angleterre le 2 novembre 1815. Toute sa vie, il a travaillé comme professeur de mathématiques et de physique à l'école. D'après les mémoires de ses étudiants, on sait quelle grande importance Bul attachait au développement des capacités créatives des étudiants. En présentant du nouveau matériel, il a cherché à faire en sorte que ses élèves eux-mêmes «redécouvrent» certaines formules et lois.

Racontant aux élèves les difficultés que les scientifiques rencontraient inévitablement dans la recherche de la vérité, l'enseignant aimait répéter une sagesse orientale: même le trône perse ne peut pas apporter autant de plaisir à une personne que la plus petite découverte scientifique. Buhl n'a jamais perdu espoir qu'un jour ses élèves feraient une vraie découverte.

L'éventail des intérêts scientifiques de Buhl était très large: il s'intéressait également aux mathématiques et à la logique - la science des lois et des formes de pensée. À cette époque, la logique était considérée comme une science des sciences humaines, et beaucoup de ceux qui connaissaient George Boole étaient étonnés de voir comment les méthodes exactes de cognition inhérentes aux mathématiques et les méthodes purement descriptives de la logique pouvaient coexister chez une seule personne.

Mais le scientifique voulait rendre la science des lois et des formes de pensée aussi rigoureuse que n'importe laquelle des sciences naturelles, disent les mathématiques et la physique. Pour cela, Boule a commencé à désigner non pas des nombres sous forme de lettres, comme cela se fait dans l'algèbre ordinaire, mais des déclarations, et a montré que de telles équations, très similaires aux équations algébriques, peuvent résoudre des questions sur la vérité et la fausseté des déclarations faites par l'homme. Alors l'algèbre booléenne est apparue.

Mais bien avant George Buhl, le mathématicien et philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716) a eu l'idée de créer une science qui désignerait tous les concepts du langage familier ordinaire avec des symboles et établirait une nouvelle algèbre pour combiner ces symboles.

Après la création d'une telle science, selon Leibniz, les scientifiques et les philosophes cesseront de se disputer et de se crier dessus, découvrir la vérité, mais ils ramasseront un crayon et diront calmement: "Calculons!"

Aujourd'hui, l'algèbre de la logique est devenue un élément important des mathématiques. L'une de ses tâches consiste à résoudre toutes sortes d'équations, dont les rapports numériques sont remplacés par des rapports alphabétiques. Chacun de vous s'est probablement souvenu tout au long de sa vie comment résoudre des équations du deuxième et du troisième degré avec des coefficients de lettre. Ainsi, Boole dans sa nouvelle algèbre a utilisé toutes ces formules et règles.

Ce qui est nouveau dans l'algèbre booléenne, c'est que les éléments de l'ensemble qui y sont étudiés ne sont pas des nombres, mais des énoncés. Si, lors de la résolution d'équations algébriques ordinaires, on détermine quel nombre est égal à X inconnu, l'algèbre scolaire cherche la réponse à la question: "Combien?"

L'algèbre de la logique cherche la réponse à la question: "Est-ce que telle ou telle déclaration dénotée par la lettre X est vraie?"

Le sens et le contenu de la déclaration ne jouent aucun rôle ici. Chaque déclaration ne peut être vraie ou fausse. Cela ne peut pas être à moitié vrai et à moitié faux. À titre d'exemple, nous pouvons nous souvenir de lancer des lots avec une pièce.

Seuls deux états de pièces sont pris en compte - les têtes ou les queues. Par accord des parties, l'aigle est OUI et la queue est NON. Aucun autre point intermédiaire n'est pris en compte dans la théorie des probabilités, bien qu'il soit possible. Une pièce retournée peut tomber sur un bord, rouler sur le sol jusqu'aux pieds d'une chaise ou d'une table et rester en position verticale, ou même tomber dans un large espace dans le sol. (Par analogie avec les circuits électriques, les deux dernières situations peuvent être considérées comme un dysfonctionnement sous la forme d'un contact brûlé).Mais à cette époque, l'algèbre de Boole, hélas, n'était pas largement utilisée.

Claude Shannon a «redécouvert» l'algèbre de Buhl. En 1938, alors qu'il était encore étudiant au Massachusetts Institute of Technology and America, le jeune Claude a prouvé que l'algèbre de Boole était parfaitement adaptée à l'analyse et à la synthèse de relais et de circuits de commutation.

A l'aide de l'algèbre booléenne, il est très facile de réaliser un circuit électrique d'un automate fonctionnant sur un relais.Pour cela, il s'avère que vous avez seulement besoin de savoir exactement ce que la machine doit faire, c'est-à-dire que vous avez besoin d'un algorithme pour son fonctionnement. Les bases ont donc été posées pour la théorie des machines numériques fonctionnant selon le principe OUI ou NON.

Telle est, en bref, l'histoire de l'algèbre de Boole. Dans les articles suivants, nous considérerons ses lois de base, des exemples de circuits de contact mettant en œuvre ces lois. Considérez la solution de ces tâches qui ont été données au début de l'article.

Suite de l'article: Algèbre booléenne. Partie 2. Lois et fonctions de base

Boris Aladyshkin